文章大纲
统计物理的基本概念
热力学系统、外界
微观粒子体系的基本特征
- 分子(或原子)非常小。
- 热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.
- 分子或原子都以不同的速率不停地运动。
- 分子之间存在相互作用力–分子力.
平衡态与非平衡态
$pV=n_ART=\dfrac{M}{M_{m o l}} RT$
普适气体常量R = 8.31J/mol
理想气体的压强 温度和内能
理想气体微观模型
- 分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。
- 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。
- 分子间的碰撞是完全弹性的。
- 分子所受重力忽略不计
理想气体的压强公式
平衡态下，
$$\overline{v_{x}^{2}}=\overline{v_{y}^{2}}=\overline{v_{z}^{2}}=\frac{1}{3} \overline{v^{2}}$$
$$p=n m \bar{v}_{x}^{2}=\frac{1}{3} n m \overline{v^{2}}$$
$$\text {分子的平均平动动能: }\bar{w}=\frac{1}{2} m \overline{v^2}$$
$$p=\frac{2}{3} n \bar{w}$$
分子的平均平动动能与温度的关系
M：总质量
$$p V=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}} R T \quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{V} \frac{N m}{N_{A} m} R T=n \frac{R}{N_{A}} T$$
$$\text{玻尔兹曼常量 }k=\dfrac{R }{ N_{\mathrm{A}}}=1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{K}^{-1}$$
p = nkT
$$p=\frac{2}{3} n \bar{w}$$
$$\bar{w}=\frac{1}{2} m \bar{v}^{2}=\frac{3}{2} k T$$
温度是气体分子平均平动动能大小的量度.
自由度
i = 3或5或6
分子的平均动能为: $\bar{\varepsilon}=\frac{1}{2}(t+r) k T=\frac{i}{2} k T$
1 mol 理想气体的内能为 $E_{\mathrm{mol}}=N_{\mathrm{A}}\left(\dfrac{i}{2} k T\right)=\dfrac{i}{2} R T$
一定质量理想气体的内能为 $E=\dfrac{M}{M_{\mathrm{mol}}} \dfrac{i}{2} R T$
温度改变, 内能改变量为 $\Delta E=\dfrac{M}{M_{\mathrm{mol}}} \dfrac{i}{2} R \Delta T$
麦克斯韦分子速率分布率
ΔN : v ∼ v + Δv 内的分子数
分子出现在 v ∼ v + Δv 速率区间内的概率$\Delta S=\frac{\Delta N}{N}$
$f(v)=\dfrac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~N} \mathrm{d} v}$
$f(v) \mathrm{d} v=\dfrac{\mathrm{d} N}{N}=\mathrm{d} S$
f(v)的物理含义：表示在温度为T的平衡状态，速率在v附近单位速率区间的分子数占总数的百分比（概率密度).
f(v)dv的物理含义：表示速率在 v → v + dv 区间的分子数占总分子数的百分比.
速率在 v → v + dv 内分子数 dN = Nf(v)dv
速率在 v1 → v2 区间的分子数 ΔN = ∫dN = ∫v1v2Nf(v)dv
速率在 v1 → v2 区间内分子数占总数的百分比 $$\dfrac{\Delta N}{N}=\int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v) \mathrm{d} v$$
归一化条件 总面积: $$\int_{0}^{\infty} f(v) \mathrm{d} v=\frac{\int_{0}^{\infty} \mathrm{d} N}{N}=\frac{N}{N}=1$$
麦克斯韦分布律
麦克斯韦速度分布律
$$\dfrac{\mathrm{d} N}{N}=F(v) \mathrm{d} w=\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0}\left(v_{x}^{2}+v_y^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2 T_{0}}} \mathrm{~d} v_{x} \mathrm{~d} v_y \mathrm{~d} v_{z}$$
麦克斯韦速度分布函数 $$F(v)=\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0}\left(v_{x}^{2}+v_y^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2 k T}}$$
麦克斯韦速率分布律 $$\frac{\mathrm{d} N}{N}=4 \pi\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0} v^{2}}{2 k T}} v^{2} \mathrm{~d} v$$
麦克斯丰速率分布函数 $$f(v)=4 \pi\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0} v^{2}}{2 k T}} v^{2}$$
分子速率的三个统计值
最概然速率
$$\left.\frac{\mathrm{d} f(v)}{\mathrm{d} v}\right|_{v=v_{p}}=0$$
$$v_{p}=\sqrt{\dfrac{2 k T}{m}}=\sqrt{\dfrac{2 R T}{M}} \approx 1.41 \sqrt{\dfrac{R T}{M}}$$
平均速率
$$\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8 k T}{\pi m}}=\sqrt{\dfrac{8 R T}{\pi M}} \approx 1.60 \sqrt{\dfrac{R T}{M}}$$
方均根速率
$$\sqrt{\overline{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}} \approx 1.73 \sqrt{\frac{R T}{M}}$$
速率介于v1 v2之间的气体分子的平均速率的计算
$$\bar{v}_{v_{1} \sim v_{2}}=\frac{\int_{v_{1}}^{v_{2}} v f(v) \mathrm{d} v}{\int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v) \mathrm{d} v}$$
对于v的某个函数 g(v),一般地, 其平均值可以表示为 $$\overline{g(v)}=\frac{\int_{0}^{\infty} g(v) f(v) \mathrm{d} v}{\int_{0}^{\infty} f(v) \mathrm{d} v}$$
玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律(P213)
麦克斯韦一玻尔兹曼分布(M-B 分布)： $$f(E)=C \mathrm{e}^{-\frac{E} {k T}}$$
玻尔兹曼因子: $$ \mathrm{e}^{-\frac{E} {k T}}$$
粒子数按势能分布（n0为零势能处的分子数密度）：
n = n0e−Ep/kT
能级：
Ni = Ae−Ei/kT
$$\dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\mathrm{e}^{-\frac {\left(E_{1}-E_{2}\right)}{kT}}$$
重力场中粒子按高度的分布
重力场中粒子按高度的分布规律: $$n=n_{0} \mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}$$
恒温气压公式:
$$p=p_{0} \mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}=p_{0} \mathrm{e}^{-\frac{Mg h}{R T}}$$
$h=\dfrac{R T}{Mg} \ln \dfrac{p_{0}}{p}$
气体的输运过程
输运过程有三种：热传导、扩散、内摩擦.
平均碰撞频率(一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数):
$$\bar{Z}=\sqrt{2} \pi d^{2} \bar{v} n$$
平均自由程:
$$\bar{\lambda}=\dfrac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\dfrac{1}{\sqrt{2} \pi d^{2} n}=\dfrac{k T}{\sqrt{2} \pi d^{2} p}$$
d与气体种类有关。
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