几个斜抛问题

问题1 - 斜面斜抛

一小球以恒定初速度v₀从倾斜角为θ的斜面顶端抛出，斜面足够长，求当初速度与水平面夹角为α时，小球落地点距离抛出点的水平位移x关于α的表达式（θ为参数），并求当α满足什么条件时，x最大。

解析

设落地时间为t，竖直位移为y，有

$\left\{\begin{array}{l}x=v_{0} \cdot \cos \alpha \cdot t \\ y=-v_{0} \cdot \sin \alpha \cdot t+\dfrac{1}{2} g t^{2} \theta \\ \dfrac{y}{x}=\tan \theta \end{array}\right.$

将①③带入②化简得：

$\begin{aligned} x &=\frac{1}{5}(\tan \alpha+\tan \theta) v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha \\ &=\frac{1}{5} v_{0}^{2}\left(\sin \alpha \cos \alpha+\tan \theta \cdot \frac{\cos 2 \alpha+1}{2}\right) \\ &=\frac{1}{5} v_{0}^{2}\left[\frac{1}{2} \cdot(\sin 2 \alpha+\tan \theta \cdot \cos 2 \alpha)+\tan \theta\right] \end{aligned}$
令$\cos \beta=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}$， 则sin 2α + tan θ ⋅ cos 2α = sin (2α + β) 要使x最大，则2α + β = 90^∘ β = 90^∘ − 2α

$\cos \beta=\sin 2 \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}$

$\therefore \alpha=\dfrac{1}{2}\cdot\arcsin \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2} \theta}}$时，x最大.

平面斜抛推论

【推论】 在水平面上，45°斜向上抛出，落地点最远。

问题2 - 高空斜抛

一小球以恒定初速度v₀从地面上方h处抛出，求当初速度与水平面夹角为α时，小球落地点距离抛出点的水平位移x关于α的表达式，并求当α满足什么条件时，x最大。