几个斜抛问题

问题1 - 斜面斜抛

一小球以恒定初速度$v_0$从倾斜角为$\theta$的斜面顶端抛出，斜面足够长，求当初速度与水平面夹角为$\alpha$时，小球落地点距离抛出点的水平位移$x$关于$\alpha$的表达式（$\theta$为参数），并求当$\alpha$满足什么条件时，$x$最大。

解析

设落地时间为$t$，竖直位移为$y$，有

$\left\{\begin{array}{l}x=v_{0} \cdot \cos \alpha \cdot t \\ y=-v_{0} \cdot \sin \alpha \cdot t+\dfrac{1}{2} g t^{2} \theta \\ \dfrac{y}{x}=\tan \theta \end{array}\right.$

将①③带入②化简得：

$\begin{aligned} x &=\frac{1}{5}(\tan \alpha+\tan \theta) v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha \\ &=\frac{1}{5} v_{0}^{2}\left(\sin \alpha \cos \alpha+\tan \theta \cdot \frac{\cos 2 \alpha+1}{2}\right) \\ &=\frac{1}{5} v_{0}^{2}\left[\frac{1}{2} \cdot(\sin 2 \alpha+\tan \theta \cdot \cos 2 \alpha)+\tan \theta\right] \end{aligned}$
令$\cos \beta=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}$， 则$\sin 2 \alpha+\tan \theta \cdot \cos 2 \alpha=\sin (2 \alpha+\beta)$ 要使$x$最大，则$2 \alpha+\beta=90^{\circ}$ $\beta=90^{\circ}-2 \alpha$

$\cos \beta=\sin 2 \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}}$

$\therefore \alpha=\dfrac{1}{2}\cdot\arcsin \sqrt{\dfrac{1}{1+\tan ^{2} \theta}}$时，$x$最大.

平面斜抛推论

【推论】 在水平面上，$45°$斜向上抛出，落地点最远。

问题2 - 高空斜抛

一小球以恒定初速度$v_0$从地面上方$h$处抛出，求当初速度与水平面夹角为$\alpha$时，小球落地点距离抛出点的水平位移$x$关于$\alpha$的表达式，并求当$\alpha$满足什么条件时，$x$最大。