Intro

圆锥曲线的光学性质

从椭圆的一个焦点发出的光线或声波，经过椭圆反射后都集中到椭圆的另一焦点上.
从双曲线的一个焦点射出光线，光线碰到双曲线边界反射后的路径的反向延长线经过另一个焦点.
从抛物线的焦点射出光线，光线碰到抛物线边界反射后的路径平行于抛物线的对称轴.

简易证明：以椭圆为例。（希尔伯特同一法）
首先作出过P的切线l, 然后作F₁关于l的对称点F^′, 连接F^′F₂交l于P^′, 如图所示.
接下来就是要说明P和P’为同一点 . 首先由作图过程可知, P^′为l上使得 P^′F₁ + P^′F₂最小的点 . 然后又因为l为过P的切线 , 所以有P^′F₁ + P^′F₂ ≥ PF₁ + PF₂ 综上所述 , 即有P^′F₁＋P^′F₂ = PF₁ + PF₂﹐即 P与P^′重合 . 因此 , PF₂就是光线反射后的路径 .

详细证明：以椭圆为例。
如本文第一张图，则过P点的切线$l : \dfrac{x_{0}x}{a^{2}}+ \dfrac{y_{0}y}{b^{2}}=1$, 直线l的法线交x轴于Q , 直线l的法向量为$\overrightarrow{n}=( \dfrac{x_{0}}{a^{2}}, \dfrac{y_{0}}{b^{2}})$
因$\overrightarrow{PF_{1}}=(-c-x_{0},-y_{0})$, $\overrightarrow{PF_{2}}=(c-x_{0},-y_{0})$,
所以PF₂=c² + x₀² + y₀² − 2cx₀$=c^{2}+x_{0}^{2}-2cx_{0}+b^{2}+ \dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}}$=$
同理$|PF_{1}|^{2}= \dfrac{(a^{2}+cx_{0})^{2}}{a^{2}}$ . 因为$\overrightarrow n\cdot\overrightarrow{PF_{1}}$= - $= \dfrac{-cx_{0}-x_{0}^{2}}{a^{2}}-b^{2}+ \dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}}=$ $\dfrac{-a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}$,
所以$\cos \angle F_{1}PQ=\left| \dfrac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PF_{1}}}{| \overrightarrow{PF_{1}}| \cdot |\overrightarrow{n}|}\right|=$ $\left| \dfrac{a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}\right|= \dfrac{1}{|\overrightarrow n|}.$
同理$\cos \angle F_{2}PQ=\left| \dfrac{\overrightarrow n \cdot \overrightarrow{PF_{2}}}{|\overrightarrow {PF_{2}}| \cdot |\overrightarrow n|}\right|=\left| \dfrac{a^{2}-cx_{0}}{a^{2}}\right|= \dfrac{1}{|\overrightarrow n|}$
所以∠F₁PQ = ∠F₂PQ, 即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.

小试牛刀

（2021-2022学年广东省佛山市高二上期末数学试卷）直线x + 2y − 8 = 0与椭圆C:$\dfrac { x ^ { 2 } } { 1 6 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 1 2 } = 1$相切于点P，椭圆C的焦点为F₁，F₂，由光学性质知直线PF₁，PF₂与l的夹角相等，则∠F₁PF₂的角平分线所在的直线的方程为( ).
A. 2x − y − 1 = 0 B. x − y + 1 = 0 C. 2x − y + 1 = 0 D. x − y − 1 = 0
解析
由$\left\{\begin{matrix} x + 2 y - 8 = 0 , \\ 3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 8 , \end{matrix} \right.$解得y = 3, x = 2，即P(2, 3).
由光学性质知直线PF₁，PF₂与l的夹角相等，则∠F₁PF₂的角平分线所在的直线为法线，即与直线l垂直.
又直线l : x + 2y − 8 = 0，所以设所求的直线方程为2x − y + m = 0.
将P(2，3)代入直线方程2x − y + m = 0中，可得m = −1.
所以∠F₁PF₂的角平分线所在的直线的方程为2x − y − 1 = 0.
故选择答案:A.
（2011年高考全国卷II理科第15题）已知F₁、F₂分别为双曲线$C:\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{27}=1$的左、右焦点，点A ∈ C，点M的坐标为(2, 0), AM为∠F₁AF₂的平分线，则$\left| AF_{2} \right|=\underline{\quad}.$
解析
设A(x₀，y₀),则双曲线C在点A处的切线也即直线AM的方程为$\dfrac{x_{0}x}{9}-\dfrac{y_{0}y}{27}=1$.
因为它过点M(2，0), 所以$x_{0}=\dfrac{9}{2}$,
得|AF₂|=$\left| a-ex_{0} \right|=\left| 3-2\cdot\dfrac{9}{2} \right|=6$

大显身手

（2013年山东高考理22(2)）椭圆$C: \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 , 连接PF₁与PF₂, 设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M(m, 0), 求m的取值范围.
解析
方程$\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$两边关于x求导得$\dfrac{2x}{4}+2y \cdot y^{ \prime }=0$, 并设P(x₀, y₀), 所以切线斜率$k=- \dfrac{x_{0}}{4y_{0}}$,
则P(x₀, y₀)处的法线方程$y-y_{0}= \dfrac{4y_{0}}{x_{0}}(x-x_{0})$, 令y = 0, 则$m= \dfrac{3}{4}x_{0}$, x₀ ∈ (−2, 2), 所以$m \in \left(- \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$.
(2010安徽) 已知F₁, F₂为椭圆$\dfrac{x^{2}}{16}+ \dfrac{y^{2}}{12}=1$的左右焦点 ,点A(2, 3)在椭圆上 , 求∠F₁AF₂的角平分线所在的直线方程.
解析
切线方程$\dfrac{x_{1} x}{16}+\dfrac{y_{1} y}{12}=1$
$\dfrac{2x}{16}+\dfrac{3 y}{12}=1$, 即$\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1$
$k=-\dfrac{1}{2}$
∴ y − 3 = 2(x − 2)
2x − y − 1 = 0
(2011年北京大学保送生考题)求证：过双曲线上一点P的切线平分∠F₁PF₂，其中F₁、 F₂为焦点.
解析
如图所示，设点P为双曲线Γ (其左、右焦点分别是F₁、 F₂)右支上任意给定的点，
过点P作∠F₁PF₂的平分线l(∠3 = ∠4).先证明l和Γ相切于点P，
只要证明l上异于点P的点P^′都在双曲线F的外部(把含双曲线焦点的区域称为该双曲线的内部)，
即证|P^′F₁| − |P^′F₂| < |PF₁| − |PF₂|.
由|PF₁| > |pF₂|知，可在直线PF₁上选取点F^′，使|PF^′| = |PF₂|，
得△P^′PF^′ ≅ △P^′PF₂，
所以|P^′F^′| = |P^′F₂|，且|P^′F₁| − |P^′F₂| = |P^′F₁| − |P^′F^′|< |F₁F^′| = |PF₁|−|PF^′| = |PF₁|−|PF₂|.