阿波罗尼斯圆及其应用

定义

设A, B是平面内的两个定点, 平面内的动点P到点A的距离与到点B的距离的比值为λ(λ > 0且λ ≠ 1), 则点P的轨迹为圆, 此圆即为阿波罗尼斯圆, 简称阿氏圆。

如图1, 以AB所在直线为x轴, AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系, 不妨设A(−a, 0), B(a, 0), P(x, y), 则由$\dfrac{PA}{PB} = \lambda$, 得

$$\dfrac{\sqrt{\left(x + a\right) {}^2 + y{}^2}}{\sqrt{\left(x - a\right) {}^2 +y {}^2}} = \lambda$$

化简得 $( λ ^2-1 ) ( x ^2+ y ^2 ) -2 a ( λ ^2+1 ) x + ( λ ^2-1 ) a ^2 = 0 $

又λ > 0且λ ≠ 1 , 所以$\left(x - \dfrac{\lambda^2 + 1}{\lambda^2 - 1}a\right)^2 + y^2 = \left(\dfrac{2\lambda}{\lambda^2 - 1}a\right)^2$

所以当λ > 0 且λ ≠ 1时 , 点P的轨迹是以$C\left(\dfrac{\lambda {}^2 + 1}{\lambda {}^2 - 1}a, 0\right)$为圆心, $\left|\dfrac{2\lambda a}{\lambda {}^2 - 1}\right|$为半径的圆。

一道高考题

在平面四边形ABCD中, ∠BAD = 90°, AB = 2, AD = 1.若$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$$= \dfrac{4}{3}\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$, 则$\overrightarrow{CB}+ \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}$最小值为________ .

拓展

提炼一下条件和结论: ①平面上的定点B(2, 0); ②平面上的定点M(5, 0); ③定比$\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{1}{2}$ ④点C的轨迹方程(x − 1)² + y

拓展1 (探求定比①②④⇒③)已知点B(2, 0), M(5, 0),点C是圆(x − 1)² + y² = 4上任一点.问:是否存在这样的常数A,使得$\frac{CB}{CM}=\lambda$？若存在,求出常数λ;若不存在,请说明理由.

拓展2 (探求一个定点①③④⇒②)已知点B(2, 0),点C是圆(x − 1)² + y² = 4上任一点.问:是否存在点M,使得$\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{1}{2}$？若存在,求出点M坐标;若不存在,请说明理由.

拓展3 (探求两个定点③④⇒①②)已知点C是圆(x − 1)² + y² = 4上任一点.问x轴上是否存在2个定点B、M,使得$\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{1}{2}$？若存在,求出点B,M坐标;若不存在,请说明理由.

拓展4 (探求定比和一个定点①③⇒②④)已知点B(2, 0),点C是圆(x − 1)² + y² = 4上任一点.问:是否存在异于点B的点M, $\frac{CB}{CM}=\lambda$为一个常数?若存在,求出点M坐标及常数λ;若不存在,请说明理由.

解析

解如图3,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1)

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$$

得$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=3$

设C(x,y),则(x, y) · (x − 2, y) = 3,

由拓展 4 , 存在$ M ( 5 , 0 )$ , 使得$\dfrac{CB}{CM}= \dfrac{1}{2}$，即$CB= \dfrac{1}{2}CM$，所以$CB+ \dfrac{1}{2}CD$$= \dfrac{1}{2}(CM+CD)$.

因为点 D 在圆内 , 点 M 在圆外 , 要在圆上找一点 C 使得 CM + CD 最小 , 由两点之间线段最短知 , 连结 DM 与圆相交 , 交点 C

所以 $( CB+ \dfrac{1}{2}CD)_{ \min }= \dfrac{1}{2}(CM+CD)_{ \min }$ $= \dfrac{1}{2}DM= \dfrac{ \sqrt{26}}{2}$为所求.

参考资料

• 翟丽. 阿波罗尼斯圆的拓展及其教学价值[J]. 高中数学教与学. 2019 (22);