统计物理学基础

文章大纲

1. 1. 统计物理的基本概念
2. 2. 理想气体的压强 温度和内能
   1. 2.1. 理想气体微观模型
   2. 2.2. 理想气体的压强公式
   3. 2.3. 分子的平均平动动能与温度的关系
   4. 2.4. 自由度
3. 3. 麦克斯韦分子速率分布率
   1. 3.1. 麦克斯韦分布律
   2. 3.2. 分子速率的三个统计值
4. 4. 玻尔兹曼分布律
   1. 4.1. 玻尔兹曼分布律(P213)
   2. 4.2. 重力场中粒子按高度的分布
5. 5. 气体的输运过程

统计物理的基本概念

• 热力学系统、外界

• 微观粒子体系的基本特征

  1. 分子(或原子)非常小。
  2. 热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.
  3. 分子或原子都以不同的速率不停地运动。
  4. 分子之间存在相互作用力--分子力.

• 平衡态与非平衡态

• $pV=n_ART=\dfrac{M}{M_{m o l}} RT$

  普适气体常量$R=8.31\text{J/mol}$

理想气体的压强 温度和内能

理想气体微观模型

• 分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。
• 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。
• 分子间的碰撞是完全弹性的。
• 分子所受重力忽略不计

理想气体的压强公式

平衡态下，

$$\overline{v_{x}^{2}}=\overline{v_{y}^{2}}=\overline{v_{z}^{2}}=\frac{1}{3} \overline{v^{2}}$$

$$p=n m \bar{v}_{x}^{2}=\frac{1}{3} n m \overline{v^{2}}$$

$$\text {分子的平均平动动能: }\bar{w}=\frac{1}{2} m \overline{v^2}$$

$$p=\frac{2}{3} n \bar{w}$$

分子的平均平动动能与温度的关系

$M$：总质量

$$p V=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}} R T \quad\Rightarrow\quad p=\frac{1}{V} \frac{N m}{N_{A} m} R T=n \frac{R}{N_{A}} T$$

$$\text{玻尔兹曼常量 }k=\dfrac{R }{ N_{\mathrm{A}}}=1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{K}^{-1}$$

$$p=n k T$$

$$p=\frac{2}{3} n \bar{w}$$

$$\bar{w}=\frac{1}{2} m \bar{v}^{2}=\frac{3}{2} k T$$

温度是气体分子平均平动动能大小的量度.

自由度

$i=3或5或6$

分子的平均动能为: $\bar{\varepsilon}=\frac{1}{2}(t+r) k T=\frac{i}{2} k T$

$1 \mathrm{~mol}$ 理想气体的内能为 $E_{\mathrm{mol}}=N_{\mathrm{A}}\left(\dfrac{i}{2} k T\right)=\dfrac{i}{2} R T$

一定质量理想气体的内能为 $E=\dfrac{M}{M_{\mathrm{mol}}} \dfrac{i}{2} R T$

温度改变, 内能改变量为 $\Delta E=\dfrac{M}{M_{\mathrm{mol}}} \dfrac{i}{2} R \Delta T$

麦克斯韦分子速率分布率

$\Delta N: v \sim v+\Delta v$ 内的分子数

分子出现在 $v \sim v+\Delta v$ 速率区间内的概率$\Delta S=\frac{\Delta N}{N}$

$f(v)=\dfrac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~N} \mathrm{d} v}$

$f(v) \mathrm{d} v=\dfrac{\mathrm{d} N}{N}=\mathrm{d} S$

$f(v)$的物理含义：表示在温度为$T$的平衡状态，速率在$v$附近单位速率区间的分子数占总数的百分比（概率密度).

$f(v) \mathrm{d} v$的物理含义：表示速率在 $v \rightarrow v+\mathrm{d} v$ 区间的分子数占总分子数的百分比.

速率在 $v \rightarrow v+\mathrm{d} v$ 内分子数

$$d N=N f(v) \mathrm{d}v$$

速率在 $v_{1} \rightarrow v_{2}$ 区间的分子数

$$\Delta N=\int \mathrm{d} N=\int_{v_{1}}^{v_{2}} N f(v)\mathrm{d} v$$

速率在 $v_{1} \rightarrow v_{2}$ 区间内分子数占总数的百分比

$$\dfrac{\Delta N}{N}=\int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v) \mathrm{d} v$$

归一化条件 总面积:

$$\int_{0}^{\infty} f(v) \mathrm{d} v=\frac{\int_{0}^{\infty} \mathrm{d} N}{N}=\frac{N}{N}=1$$

麦克斯韦分布律

• 麦克斯韦速度分布律

  $$\dfrac{\mathrm{d} N}{N}=F(v) \mathrm{d} w=\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0}\left(v_{x}^{2}+v_y^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2 T_{0}}} \mathrm{~d} v_{x} \mathrm{~d} v_y \mathrm{~d} v_{z}$$

• 麦克斯韦速度分布函数

  $$F(v)=\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0}\left(v_{x}^{2}+v_y^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2 k T}}$$

• 麦克斯韦速率分布律

  $$\frac{\mathrm{d} N}{N}=4 \pi\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0} v^{2}}{2 k T}} v^{2} \mathrm{~d} v$$

• 麦克斯丰速率分布函数

  $$f(v)=4 \pi\left(\dfrac{m_{0}}{2 \pi k T}\right)^{\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{m_{0} v^{2}}{2 k T}} v^{2}$$

分子速率的三个统计值

最概然速率

$$\left.\frac{\mathrm{d} f(v)}{\mathrm{d} v}\right|_{v=v_{p}}=0$$

$$v_{p}=\sqrt{\dfrac{2 k T}{m}}=\sqrt{\dfrac{2 R T}{M}} \approx 1.41 \sqrt{\dfrac{R T}{M}}$$

平均速率

$$\bar{v}=\sqrt{\dfrac{8 k T}{\pi m}}=\sqrt{\dfrac{8 R T}{\pi M}} \approx 1.60 \sqrt{\dfrac{R T}{M}}$$

方均根速率

$$\sqrt{\overline{v^{2}}}=\sqrt{\frac{3 k T}{m}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}} \approx 1.73 \sqrt{\frac{R T}{M}}$$

速率介于$v_1~v_2$之间的气体分子的平均速率的计算

$$\bar{v}_{v_{1} \sim v_{2}}=\frac{\int_{v_{1}}^{v_{2}} v f(v) \mathrm{d} v}{\int_{v_{1}}^{v_{2}} f(v) \mathrm{d} v}$$

对于$v$的某个函数 $g(v)$,一般地, 其平均值可以表示为

$$\overline{g(v)}=\frac{\int_{0}^{\infty} g(v) f(v) \mathrm{d} v}{\int_{0}^{\infty} f(v) \mathrm{d} v}$$

玻尔兹曼分布律

玻尔兹曼分布律(P213)

麦克斯韦一玻尔兹曼分布(M-B 分布)：

$$f(E)=C \mathrm{e}^{-\frac{E} {k T}}$$

玻尔兹曼因子:

$$\mathrm{e}^{-\frac{E} {k T}}$$

粒子数按势能分布（$n_0$为零势能处的分子数密度）：

$$n=n_{0} \mathrm{e}^{-E_{p} / k T}$$

能级：

$$N_{i}=A \mathrm{e}^{-E_{i} / k T}$$

$$\dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\mathrm{e}^{-\frac {\left(E_{1}-E_{2}\right)}{kT}}$$

重力场中粒子按高度的分布

重力场中粒子按高度的分布规律:

$$n=n_{0} \mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}$$

恒温气压公式:

$$p=p_{0} \mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}=p_{0} \mathrm{e}^{-\frac{Mg h}{R T}}$$

$h=\dfrac{R T}{Mg} \ln \dfrac{p_{0}}{p}$

气体的输运过程

输运过程有三种：热传导、扩散、内摩擦.

平均碰撞频率(一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数):

$$\bar{Z}=\sqrt{2} \pi d^{2} \bar{v} n$$

平均自由程:

$$\bar{\lambda}=\dfrac{\bar{v}}{\bar{Z}}=\dfrac{1}{\sqrt{2} \pi d^{2} n}=\dfrac{k T}{\sqrt{2} \pi d^{2} p}$$

$d$与气体种类有关。