代入特殊点/值
代入特殊点/值
对于求取值范围的题,我们可以先代入特殊值排除选项,再做后续步骤。
观察每个选项区间范围和差异,代入差异的特殊值验证是否符合题设条件从而进行取舍。
此外也可以代入常见的,包括:0,±1,±2,±e,±1e,±1e2,±∞(取极限)等。
设函数 f(x)={2−x,x⩽01,x>0, 则满足 f(x+1)<f(2x) 的 x 的取值范围是()
A. (−∞,−1] B. (0,+∞) C. (−1,0) D. (−∞,0)
(2020.10.6EZ轮测) 已知函数 f(x)={13x2−43x+4,x⩾1−13x3+x2−x+103,x<1, 若关于 x 的不等式 f(x)⩾|49x−a| 在R上恒成立,则实数a的取值范围为().
A. [−4427,9227] B. [−4427,26381] C. [26381,9227] D. (−∞,−4427]
解析1
【参考答案】B
【分析】利用参变分离的方法,转化为 (−13x2+169x−4)max⩽a⩽(13x2−89x+4)min,
且(13x3−x2+139x−103)max⩽a⩽(−13x3+x2−59x+103)min,
转化为求函数的最值.
【详解】当 x⩾1 时, f(x)=13x2−43x+4=13(x−2)2+83>0
当 x<1 时, f(x)=−13x3+x2−x+103, 则f′(x)=−x2+2x−1=−(x−1)2<0,
若关于 x 的不等式 f(x)⩾|49x−a| 在 R 上恒成立,
则 {−13x2+43x−4⩽49x−a⩽13x2−43x+413x3−x2+x−103⩽49x−a⩽−13x3+x2−x+103
即 {−13x2+169x−4⩽a⩽13x2−89x+413x3−x2+139x−103⩽a⩽−13x3+x2−59x+103 恒成立,
所以 {(−13x2+169x−4)max⩽a⩽(13x2−89x+4)min(13x3−x2+139x−103)max⩽a⩽(−13x3+x2−59x+103)min
(1) 当 x⩾1 时,函数 y=13x2−89x+4=13(x−43)2+9227(x⩾1),
当 x=43 吋,函数取得枝小值 9227,
函数 y=−13x2+169x−4=−13(x−83)2−4427(x⩾1),
所以当 x=83 时函数取得提大值 −4427, 所以 −4427⩽a⩽9227(1).
(2) 当 x<1 时, y=13x3−x2+139x−103,y′=x2−2x+139>0,
函数在 (−∞,1) 单调递增,
所以 f(x)<f(1)=−239,
y=−13x3+x2−59x+103(x<1),
y′=−x2+2x−59=−(x−1)2+49,
令 y′>0, 解得 13<x<1,
令 y′<0, 解得 x<13,
故函数在 (−∞,13) 单调递减, 在 (13,1) 递增,
所以函数在 x=13 处取得最小值, f(13)=26381,
所以 −239⩽a⩽26381(2)
根据(1)(2)可知 −4427⩽a⩽26381.
解析2
【法二】 Idea by lzx.
将x=0代入得
f(0)=103⩾|a| ∴−103⩽a⩽103=9027=27081
排除A、C、D选项.
(2023南京一模)已知集合A={x|x−1x−a<0}.若A∩N∗=∅,则实数a的取值范围是()
A. 1 B. (−∞,1) C. [1,2] D. (−∞,2]
解析
若a=0时,A={x|0<x<1},满足条件A∩N∗=∅,排除A、C;
若a=1时,A=∅,满足条件A∩N∗=∅,排除B;
故选D.
(2023山东德州)我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割,一直分割到圆内接正1536边形,用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法,由圆内接正n边形与圆内接正2n边形分别计算出的圆周率的比值为()
A.sin(180n)∘B.cos(180n)∘C.2sin(360n)∘D.2cos(360n)∘
解析
当n趋向于+∞时,圆内接正n边形与圆内接正2n边形都接近于圆,
因此,它们的比值趋向于1,
n趋向于+∞时,(180n)∘→0和(360n)∘→0
结合选项,只有选项B的值趋向于1,故选B.
在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,求该数列前11项和。
A.58 B.88 C.143 D.176
解析
采用特殊值法,取每一项都等于8的常数列,则数列{an}前11项和为88,选B.
已知sina−cosa=√2,a∈(0,π),则tana=()
A.−1B.−√22C.√22D.1
解析
采用特殊值法,取满足条件的两个函数值。
sina=√22,cosa=−√22,则直接求得tana=−1,
选A.
已知点P(x,y)在曲线y=x24+1上,则|x+y|√x2+y2的取值范围是()
A.[0,√22]B.[0,1]C.[0,√62]D.[0,√2]
解析
在曲线上取特殊点(0,1)和(2,2),
代入|x+y|√x2+y2,分别得到函数值1和√2,
四个选项中同时含有这两个函数值的只有D选项,故选D。
已知二面角α−l−β的平面角为θ(0<θ<π2),A∈α,B∈β,C∈l,D∈l,且 AB⊥l.B与平面β所成角为π3。记△ACD的面积为S1,△BCD的面积为S2,则S1S2的取值范围为()。
A.[12,1) B.[12,√3)
C.[√32,√3) D.[√32,1)
解析
首先选择极限情况θ=π2,求得面积之比为√3(但是取不到),符合这种情况的只有B、C,接着,观察θ在变化过程中两个三角形面积的变化情况,可以再取另一种极限情况AB⊥α,同理可以求得S1S2=√32,故选C。
构造特殊函数
构造特殊函数
对于构造特殊函数求不等式解集的题,可以不采用课堂所讲的构造函数的办法,优先考虑特殊函数。如:
- f(x)=c(常数)
- f(x)=x
- f(x)=−x
- f(x)=x2
- f(x)=1−x2
已知可导函数 f(x) 的导函数为 f′(x), 若对任意的 x∈R, 都有 f(x)>f′(x)+1, 且 f(0)=2020, 则不等式 f(x)−2019ex<1 的解集为 ().
A.(−∞,0) B.(0,+∞) C.(−∞,1e) D.(1e,+∞)
解析1
【参考答案】
构造函数 g(x)=f(x)−1ex
则 g′(x)=f′(x)−f(x)+1ex<0,
所以函数 g(x)=f(x)−1ex 在 R 上单调递减 因为 f(0)=2020, 所以g(0)=f(0)−1e0=2019
由 f(x)−2019ex<1
得 f(x)−1<2019ex, 即 f(x)−1ex<2019,
所以得 g(x)<g(0),
因为函数 g(x) 在 R 上单调递减
所以 x>0,
所以不等式 f(x)−2019ex<1 的解集为 (0,+∞),
故选B。
解析2
【法二】
令f(x)=2020,
即求2020−2019ex<1,
即ex>1,∴x>0
(2023全国I卷)(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()
A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点
解析
因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y),
对于A,令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确;
对于B,令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,
故B正确;
对于C,令x=y=−1,f(1)=f(−1)+f(−1)=2f(−1),则f(−1)=0,
令y=−1,f(−x)=f(x)+x2f(−1)=f(x),
又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,故C正确;
对于D,不妨令f(x)=0,显然符合题设条件,此时f(x)无极值,故D错误.
参考文献
- 刘新福.基于高考题型的高中数学解题技巧探究——以高考选择题为例[J].数理化解题研究,2024,(21):60-62.
- 毕成.解答数学高考选择题切勿“小题大做”[J].考试与招生,2024,(05):7-9.
- 积累选择策略,提高答题效率...考数学选择题的解答技巧为例_吴艳
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