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选择题的特殊技巧

代入特殊点/值

代入特殊点/值

对于求取值范围的题,我们可以先代入特殊值排除选项,再做后续步骤。

观察每个选项区间范围和差异,代入差异的特殊值验证是否符合题设条件从而进行取舍。

此外也可以代入常见的,包括:0,±1,±2,±e,±1e,±1e2,±(取极限)等。

  1. 设函数 f(x)={2x,x01,x>0, 则满足 f(x+1)<f(2x)x 的取值范围是()

     A. (,1] B. (0,+)  C. (1,0) D. (,0)

  2. (2020.10.6EZ轮测) 已知函数 f(x)={13x243x+4,x113x3+x2x+103,x<1, 若关于 x 的不等式 f(x)|49xa| 在R上恒成立,则实数a的取值范围为().

     A. [4427,9227] B. [4427,26381]  C. [26381,9227] D. (,4427]

    解析1

    【参考答案】B

    【分析】利用参变分离的方法,转化为 (13x2+169x4)maxa(13x289x+4)min,

    (13x3x2+139x103)maxa(13x3+x259x+103)min,

    转化为求函数的最值.


    【详解】x1 时, f(x)=13x243x+4=13(x2)2+83>0

    x<1 时, f(x)=13x3+x2x+103,f(x)=x2+2x1=(x1)2<0,

    若关于 x 的不等式 f(x)|49xa|R 上恒成立,


    {13x2+43x449xa13x243x+413x3x2+x10349xa13x3+x2x+103


    {13x2+169x4a13x289x+413x3x2+139x103a13x3+x259x+103 恒成立,


    所以 {(13x2+169x4)maxa(13x289x+4)min(13x3x2+139x103)maxa(13x3+x259x+103)min


    (1)x1 时,函数 y=13x289x+4=13(x43)2+9227(x1),

    x=43 吋,函数取得枝小值 9227,

    函数 y=13x2+169x4=13(x83)24427(x1),

    所以当 x=83 时函数取得提大值 4427, 所以 4427a9227(1).


    (2)x<1 时, y=13x3x2+139x103,y=x22x+139>0,

    函数在 (,1) 单调递增,

    所以 f(x)<f(1)=239,

    y=13x3+x259x+103(x<1),

    y=x2+2x59=(x1)2+49,

    y>0, 解得 13<x<1,

    y<0, 解得 x<13,

    故函数在 (,13) 单调递减, 在 (13,1) 递增,

    所以函数在 x=13 处取得最小值, f(13)=26381,

    所以 239a26381(2)


    根据(1)(2)可知 4427a26381.

    解析2

    【法二】 Idea by lzx.

    x=0代入得

    f(0)=103|a| 103a103=9027=27081

    排除A、C、D选项.

  3. (2023南京一模)已知集合A={x|x1xa<0}.若AN=,则实数a的取值范围是()

     A. 1 B. (,1)  C. [1,2] D. (,2]

    解析

    a=0时,A={x|0<x<1},满足条件AN=,排除A、C;

    a=1时,A=,满足条件AN=,排除B;

    故选D.

  4. (2023山东德州)我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割,一直分割到圆内接正1536边形,用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法,由圆内接正n边形与圆内接正2n边形分别计算出的圆周率的比值为()

    A.sin(180n)B.cos(180n)C.2sin(360n)D.2cos(360n)

    解析

    n趋向于+时,圆内接正n边形与圆内接正2n边形都接近于圆,

    因此,它们的比值趋向于1,

    n趋向于+时,(180n)0(360n)0

    结合选项,只有选项B的值趋向于1,故选B.

  5. 在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,求该数列前11项和。

    A.58   B.88   C.143   D.176

    解析

    采用特殊值法,取每一项都等于8的常数列,则数列{an}前11项和为88,选B.

  6. 已知sinacosa=2,a(0,π),则tana=()

    A.1B.22C.22D.1

    解析

    采用特殊值法,取满足条件的两个函数值。

    sina=22,cosa=22,则直接求得tana=1,

    选A.

  7. 已知点P(xy)在曲线y=x24+1上,则|x+y|x2+y2的取值范围是()

    A.[0,22]B.[0,1]C.[0,62]D.[0,2]

    解析

    在曲线上取特殊点(0,1)和(2,2),

    代入|x+y|x2+y2,分别得到函数值1和2

    四个选项中同时含有这两个函数值的只有D选项,故选D。

  8. 已知二面角αlβ的平面角为θ(0<θ<π2),Aα,Bβ,Cl,Dl,且 ABl.B与平面β所成角为π3。记ACD的面积为S1BCD的面积为S2,则S1S2的取值范围为()。

    A.[12,1)   B.[12,3)

    C.[32,3)   D.[32,1)

    解析

    首先选择极限情况θ=π2,求得面积之比为3(但是取不到),符合这种情况的只有B、C,接着,观察θ在变化过程中两个三角形面积的变化情况,可以再取另一种极限情况ABα,同理可以求得S1S2=32,故选C。

构造特殊函数

构造特殊函数

对于构造特殊函数求不等式解集的题,可以不采用课堂所讲的构造函数的办法,优先考虑特殊函数。如:

  • f(x)=c(常数)
  • f(x)=x
  • f(x)=x
  • f(x)=x2
  • f(x)=1x2
  1. 已知可导函数 f(x) 的导函数为 f(x), 若对任意的 xR, 都有 f(x)>f(x)+1,f(0)=2020, 则不等式 f(x)2019ex<1 的解集为 ().

    A.(,0) B.(0,+) C.(,1e) D.(1e,+)

    解析1

    【参考答案】

    构造函数 g(x)=f(x)1ex

    g(x)=f(x)f(x)+1ex<0,

    所以函数 g(x)=f(x)1exR 上单调递减 因为 f(0)=2020, 所以g(0)=f(0)1e0=2019

    f(x)2019ex<1

    f(x)1<2019ex,f(x)1ex<2019,

    所以得 g(x)<g(0),

    因为函数 g(x)R 上单调递减

    所以 x>0,

    所以不等式 f(x)2019ex<1 的解集为 (0,+),

    故选B。

    解析2

    【法二】

    f(x)=2020,

    即求20202019ex<1,

    ex>1,x>0

  2. (2023全国I卷)(多选题)已知函数f(x)的定义域为Rf(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()

    A.f(0)=0     B.f(1)=0     C.f(x)是偶函数   D.x=0f(x)的极小值点

    解析

    因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)

    对于A,令x=y=0,f(0)=0f(0)+0f(0)=0,故A正确;

    对于B,令x=y=1,f(1)=1f(1)+1f(1),则f(1)=0,

    故B正确;

    对于C,令x=y=1,f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),则f(1)=0

    y=1,f(x)=f(x)+x2f(1)=f(x),

    又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)为偶函数,故C正确;

    对于D,不妨令f(x)=0,显然符合题设条件,此时f(x)无极值,故D错误.

参考文献

  • 刘新福.基于高考题型的高中数学解题技巧探究——以高考选择题为例[J].数理化解题研究,2024,(21):60-62.
  • 毕成.解答数学高考选择题切勿“小题大做”[J].考试与招生,2024,(05):7-9.
  • 积累选择策略,提高答题效率...考数学选择题的解答技巧为例_吴艳

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