波动光学

文章大纲

1. 1. 一些简单总结
2. 2. 光波及其相干条件
   1. 2.1. 光波的描述方法 (P284)
   2. 2.2. 光的叠加性 相干条件 (P285)
   3. 2.3. 获得相干光波一般方法
   4. 2.4. 光程和光程差
3. 3. 分波阵面干涉
   1. 3.1. 杨氏双缝干涉实验
   2. 3.2. 菲涅耳双面镜实验(P289)
   3. 3.3. 劳埃德镜实验
4. 4. 分振幅干涉
   1. 4.1. 等倾干涉
   2. 4.2. 增透膜和增反膜
   3. 4.3. 等厚干涉
      1. 4.3.1. 劈尖干涉
      2. 4.3.2. 牛顿环
      3. 4.3.3. 迈克耳逊干涉仪
5. 5. 光的衍射
   1. 5.1. 单缝夫琅和费衍射
   2. 5.2. 圆孔夫琅和费衍射
   3. 5.3. 光学仪器的分辨本领
6. 6. 光栅衍射
   1. 6.1. 衍射光栅
      1. 6.1.1. 光栅方程
      2. 6.1.2. 缺级
   2. 6.2. 光栅光谱(P310)
7. 7. X射线晶体在晶体中的衍射
8. 8. 光的偏振
   1. 8.1. 自然光和偏振光
   2. 8.2. 起偏和检偏
   3. 8.3. 马吕斯定律
   4. 8.4. 布儒斯特定律
   5. 8.5. 晶体的双折射

一些简单总结

实验	波程差 $\delta$	字母释义	半波损失
杨氏双缝干涉实验	$d \cdot \dfrac{x}{D}$	$d$: 两光源距离 $D$: 狭缝平面与屏幕距离
等倾干涉	$2 e \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2} \cdot \sin ^{2} i} +\dfrac{\lambda}{2}$	$e$: 厚度 $n_2$: 薄膜折射率 $n_1$: 介质折射率	(条件)
增透/反膜的 反射光波程差	$2 n_{2} d$	$n_2$: 薄膜折射率	(条件)
劈尖干涉	$2 n e+\dfrac{\lambda}{2}$	(近似垂直入射) $n$: 夹层介质折射率	(条件)
牛顿环*	$2 e+\frac{\lambda}{2}$	$e$: 空气薄层厚度
单缝夫琅和费衍射	$a \sin \theta$	$a$: 缝宽 $\theta$: 衍射角
光栅方程	$d\sin \theta=(a+b) \sin \theta$	$d=a+b$: 光栅常量 $\theta$: 衍射角

光波及其相干条件

光波的描述方法 (P284)

• 在波动光学中，主要讨论的是相对光强，因此在同一介质中直接把光强定义为：$\bar{I}=E_{0}^{2}$

光的叠加性 相干条件 (P285)

非相干叠加：独立光源的两束光或同一光源的不同部位所发出的光的位相差“瞬息万变”。

条件： （1）频率相同 （2）振动方向相同 （3）具有固定的位相差

两频率相同，光矢量方向相同的光源在P点相遇

$E_{1}\left(\vec{r}_{1}, t\right)=E_{10} \cos \left(\omega t-k r_{1}+\varphi_{1}\right)$

$E_{2}\left(\vec{r}_{2}, t\right)=E_{20} \cos \left(\omega t-k r_{2}+\varphi_{2}\right)$

$E=\sqrt{E_{10}^{2}+E_{20}^{2}+2 E_{10} E_{20} \cos \Delta \varphi}$

$\Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}-\dfrac{2 \pi}{\lambda}\left(r_{2}-r_{1}\right)$

$2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \Delta \varphi \rightarrow$ 干涉项

$I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \Delta \varphi$

相长干涉：$\Delta \varphi=\pm 2 k \pi \quad I=4 I_{1} \quad$

相消干涉：$\Delta \varphi=\pm(2 k+1) \pi \quad I=0$

获得相干光波一般方法

1 分波前的方法 杨氏干涉 2 分振幅的方法 等倾干涉、等厚干涉

光程和光程差

• 在介质中传播的波长，折算成真空中波长的关系：$\lambda_{n}=\frac{\lambda}{n}$

• 光程这个概念可将光在介质中走过的路程，折射为光在真空中的路程

• 均匀介质中，光程$L=n r=\dfrac{c}{u} r=c t$

• 光程差$\delta=\left(n_{2} r_{2}-n_{1} r_{1}\right)$

• $\Delta \varphi=\Delta \varphi_{0}-\frac{2 \pi}{\lambda} \delta$

• 两相干光源同位相， $\Delta \varphi=-\frac{2 \pi}{\lambda} \delta$

• 两相干光源同位相，干涉条件

  $\begin{array}{lll}\delta=\pm k \lambda & k=0,1,2 \cdots & \text { 加强 (明) } \\ \delta=\pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & k=0,1,2 \cdots & \text { 减弱 (暗) }\end{array}$

使用透镜不会引起各相干光之间的附加光程差。

分波阵面干涉

杨氏双缝干涉实验

杨氏双缝干涉实验装置

杨氏双缝干涉实验

$\begin{aligned} \delta &=r_{2}-r_{1} \approx d \sin \theta \approx d \operatorname{tg} \theta=d \cdot \frac{x}{D} \end{aligned}$

干涉加强，明纹位置： $\delta=\pm k \lambda$ $x_{\pm k}=\pm k \frac{D}{d} \lambda, k=0,1,2 \cdots$

干涉减弱，暗纹位置： $\delta=\pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}$ $x_{\pm(2 k+1)}=\pm(2 k+1) \frac{D}{2 d} \lambda$

• 两相邻明（或暗）条纹间的距离称为条纹间距。 条纹间距$\Delta x=x_{k+1}-x_{k}=\frac{D}{d} \lambda$ (与$k$无关)
• 复色光：内→外：紫→红
• 光源上下移动，条纹反向移动。

菲涅耳双面镜实验(P289)

明条纹中心：$x=k \lambda \frac{D}{d}$

暗条纹中心：$x=\frac{2 k+1}{2} \lambda \frac{D}{d}$

（$k=0, \pm 1, \pm 2 \cdots$）

劳埃德镜实验

劳埃德镜实验

当屏幕 E 移至E'处，从 S1和 S2 到 L点的光程差为零，但是观察到暗条纹，验证了反射时有半波损失存在。

分振幅干涉

等倾干涉

等倾干涉

$\delta=n_{2}(A B+B C)-n_{1} AD +\dfrac{\lambda}{2}$(半波损失)

$\delta=2 e \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2} \cdot \sin ^{2} i}+\dfrac{\lambda}{2}$(半波损失)

$\delta=\left\{\begin{array}{cll}k \lambda & k=1,2, \cdots & \text { 加强,明纹 } \\ (2 k+1) \lambda / 2 & k=0,1,2, \cdots & \text { 减弱,暗纹 }\end{array}\right.$

有半波损失（外程差）： $n_{1} < n_{2} > n_{3}$ 或 $n_{1} > n_{2} < n_{3}$ 无半波损失（外程差）： $n_{1} > n_{2} > n_{3}$ 或 $n_{1} < n_{2} < n_{3}$

等倾干涉环

• $e$一定，同一级条纹具有相同的倾角，称这种干涉为等倾干涉
• $i$一定，则对应不同的厚度有不同的干涉，这种干涉叫等厚干涉。

• 入射角$i$越小，光程差越大，条纹越在中心，干涉级越大。
• 当膜厚减小时：盯住某条明纹，$\delta$不变，$e$减小，$i$减小，条纹向里收缩，中心处明暗交替。

增透膜和增反膜

增透膜，反射光相干相消的条件是：$2 n_{2} d=(2 k+1) \lambda / 2$

等厚干涉

劈尖干涉

劈尖干涉

实心劈尖

$\delta=2 n_{2} e+\frac{\lambda}{2}(半波损失)=\left\{\begin{array}{lll}k \lambda & k=1,2,3 \cdots & \text { 明条纹 } \\ (2 k+1) \lambda / 2 & k=0,1,2 \cdots & \text { 暗条纹 }\end{array}\right.$

劈棱处为明纹还暗纹, 应视 $n 、 n_{1} 、 n_{2}$ 的值而定，若$n_{1} < n < n_{2}$ 或 $n_{1} > n > n_{2}$ , 膜上、下表面的两反射光或均有半波损失，两半波损失相抵或均无半波损失, 劈棱处 $e=0$, 光程差 $\delta = 0$, 为明条纹, 否则 $e = 0$ 处 $\delta = \lambda / 2$, 为暗条纹。

空气劈尖有半波损失！

空气劈尖的半波损失问题

空气劈尖

反射光2和3会发生干涉，因为只有2、3界面之间的薄膜足够“薄”。

更详细的解释，参见知乎文章

$\left\{\begin{array}{l}l \sin \theta=e_{k+1}-e_{k} \\ e_{k+1}-e_{k}=\frac{\lambda}{2 n_{2}}\end{array}\right.$$\Rightarrow l=\dfrac{\lambda}{2 n_{2} \sin \theta}$

• 薄膜厚度增加时，条纹下移；薄膜的$\theta$增加时，条纹下移

牛顿环

牛顿环

$\delta=2 e+\frac{\lambda}{2}=\left\{\begin{array}{ccc}k \lambda & k=1,2,3 \cdots & \text { 明条纹 } \\ (2 k+1) \lambda / 2 & k=0,1,2 \cdots & \text { 暗条纹 }\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}r^{2}=R^{2}-(R-e)^{2}=2 R e-e^{2} \\ R>>e\end{array}\right.$ $\quad\Rightarrow e=\dfrac{r^{2}}{2 R}$

$\left\{\begin{array}{lll}r_{K}=\sqrt{\dfrac{(2 k-1) R \lambda}{2}} & k=1,2,3 \cdots & \text { 明条纹 } \\ r^{\prime}=\sqrt{k R \lambda} & k=0,1,2 \cdots & \text { 暗条纹 }\end{array}\right.$

条纹内疏外密：$r_{k+1}-r_{k}=(\sqrt{(k+1)}-\sqrt{k}) \sqrt{R \lambda}=\frac{\sqrt{R \lambda}}{\sqrt{(k+1)}+\sqrt{k}}$

迈克耳逊干涉仪

迈克耳逊干涉仪实验装置

$G1$ -半涂银镜 $G2$ - 补偿透镜 $M1、M2$ - 反射镜 $E$ - 眼及望远镜

迈克耳逊干涉仪实验结果

光束$2'$和$1'$发生干涉：

$\begin{array}{ll}\text { 若 } M^{\prime}{ }_{1} 、 M_{2} \text { 平行 } & \Rightarrow \text { 等倾条纹 } \\ \text { 若 } M^{\prime}{ }_{1} 、 M_{2} \text { 有小夹角 } & \Rightarrow \text { 等厚条纹 }\end{array}$

当 $\mathrm{M}_{1}$ 每平移 $\dfrac{\lambda}{2}$ 的距离时,视场中就有一条明纹移过. 所以数出视场中移过的明纹条数 $N$, 就可算出 $\mathrm{M}_{1}$ 平移的距离$d=N \dfrac{\lambda}{2}$

光的衍射

单缝夫琅和费衍射

单缝夫琅和费衍射

$\delta=a \sin \theta= \begin{cases}0 & \text {中央明纹} \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & k=1,2,3 \ldots \text {明纹} \\ \pm 2 k \frac{\lambda}{2}=k \lambda & k=1,2,3 \ldots \text {暗纹} \\ \text {非以上值: } & \text {介于明纹与暗纹之间}\end{cases}$

$\theta_0 \approx \sin \theta_0 \approx \tan \theta_0$

• 中央亮纹半角宽度$\Delta \theta_0=\dfrac{\lambda}{a}$
• 中央亮纹线宽度$\Delta x_{0}=2 f \tan \theta_0 \approx 2f \theta_0=\dfrac{2 f \lambda}{a}$
• 其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。

若考虑折射率$n \neq 1$时，

$\delta=na \sin \theta$，

中央亮纹线宽度$\Delta x_{0}=\dfrac{2 f \lambda}{na}$

• 缝越窄（$a$越小）,$\theta$就越大, 条纹变宽，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
• 条纹宽度随波长的减小而变窄。
• 单缝上下移动，$\theta$不变，条纹位置不变。

圆孔夫琅和费衍射

圆孔夫琅和费衍射

$\because \tan \theta \approx \theta \approx \sin \theta=0.61 \dfrac{\lambda}{r}=1.22 \dfrac{\lambda}{d}$

$\therefore$ 艾里斑线半径$R=1.22 f$

光学仪器的分辨本领

艾里斑

最小分辨角: $\theta_{k}=\sin \theta=1.22 \dfrac{\lambda}{d}$

分辨率: $\dfrac{1}{\theta_{R}}=\dfrac{d}{1.22 \lambda}$

$d$ - 光学仪器的透光孔径

光栅衍射

光栅衍射（垂直入射）

光栅衍射的光强

衍射光栅

光栅方程

多缝干涉明条纹也称为主极大。

明条纹：

$$\delta=d\sin \theta=(a+b) \sin \theta=\pm k \lambda \quad k=0,1,2,3 \cdots$$

当单色平行光倾斜地射到光栅上时，相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差 $(a+b) \sin \theta_{0}$

$$(a+b)\left(\sin \theta \pm \sin \theta_{0}\right)=\pm k \lambda \quad k=0,1,2,3 \cdots$$

缺级

$$\displaystyle\begin{cases}a \cdot \sin \theta=\pm k^{\prime} \lambda & k^{\prime}=1,2, \cdots &(单缝衍射暗纹)\\ (a+b) \cdot \sin \theta=\pm k \lambda & k=1,2, \cdots &(光栅方程明纹)\end{cases}$$

$k= k^{} $就是所缺的级次$k^{}=1,2, $

光栅光谱(P310)

如果有几种单色光同时投射在光栅上，在屏上将出现光栅光谱。

彩色光栅光谱

X射线晶体在晶体中的衍射

X射线晶体在晶体中的衍射

干涉加强条件（布喇格公式）:

$$2 d \sin \phi=k \lambda \quad k=1,2 \cdots$$

光的偏振

自然光和偏振光

偏振度: $\quad p=\dfrac{I_{p}}{I_{t}}=\dfrac{I_{p}}{I_{n}+I_{p}}$

$I_{n} \rightarrow$ 自然光强度 $\quad I_{p} \rightarrow$ 完全偏振光强度

$\begin{array}{lll}\text { (1)完全偏振光 } & I_{n}=0 & p=1 \\ \text { (2)自然光 } & I_{p}=0 & p=0 \\ \text { (3)部分偏振光 } & I_{p} \neq 0 & 0<p<1\end{array}$

椭圆偏振光和圆偏振光都是完全偏振光，均可等效为两个具有恒定相位差、相同振动频率、振动方向相互垂直的线偏振光。

起偏和检偏

• 起偏：使自然光（或非偏振光）变成线偏振光的过程。

• 检偏：检查入射光的偏振性。

• 线偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化，有消光现象

• 自然光通过旋转的检偏器，光强不变。

• 部分偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化。

• 自然光通过起偏器，成为线偏光

马吕斯定律

马吕斯定律

如果入射线偏振光的光强为 $I_{1}$, 透过检偏器后, 透射光的光强I为

$$I_{2}=I_{1} \cos ^{2} \alpha$$

布儒斯特定律

——反射光和折射光的偏振

$i_0$: 布儒斯特角/起偏角

$\tan i_0=\dfrac{n_{2}}{n_{1}} \equiv n_{21}$ 或 $i_{0}+r_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

反射光成为其振动方向垂直于入射面的线偏振光。

布儒斯特定律

玻璃片堆产生线偏振光

晶体的双折射

• 当方解石晶体旋转时，$o$光不动，$e$光围绕$o$光旋转
• 对于各向异性晶体，一束光射入晶体后，可以观察到有两束折射光的现象。

晶体的双折射

• 寻常光：对于晶体一切方向都具有相同的折射率（即波速相同），且在入射面内传播，简称它为$o$光。
• 非常光：它的折射率（即波速）随方向而变化，并且不一定在入射面内传播，简称为$e$光。
• $o$光和$e$光都是线偏振光。
• 寻常光线（$o$光）：遵守折射定律 非常光线（$e$光）：不遵守折射定律